Graficas

Ejemplo:


La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

 Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es

• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.


Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:
a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).

Definicion

Una variación directa es una función donde la razón entre un numero y del contra dominio y el correspondiente numero x del dominio, es la misma para todas las parejas de la función.
La variación puede definirse precisamente con una variable representada como función de una o mas variables. Por ejemplo "la distancia varía directamente con el tiempo".

Se dice que la variable y es directamente proporcional a la variable x si la razón de dos valores correspondientes cualesquiera de y y x es constante, es decir, si y / x= k, o sea, si

y = kx,

en donde la constante k se llama constante de proporcionalidad o constante de variación.

Ejemplo. La longitud C de una circunferencia es directamente proporcional al radio r; ya que C = 2 (pi)r en donde 2 (pi) es la constante de proporcionalidad.

Se dice que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si y es directamente proporcional al recíproco de x. En este caso escribimos

                                                              y = k
                                                                    - ,  
                                                                    x
siendo k la constante de proporcionalidad.

Ejemplos:

Mientras una variable independiente incremente..............también lo ará una variable independiente de la anterior: si "y = x"   y luego "x" incrementa entonces "y" también incrementará.
Por ejemplo el agua, mientras máz azucar le pongas mas dulce sabrá.........esto quiere decir que incrementar uno hace que el otro también incremente. Tambien por ejemplo si caminas menos te cansas menos........entocnes disminuir una cosa hace que también la otra diminuya. ESAS SON VARIACIONES PROPORCIONALES

Un ejemplo en geometría sencillo es la relación entre el área de un triángulo y su base y su altura. El área es directamente proporcional a la base, cuando la altura permanece constante, y es directamente proporcional a la altura cuando la base permanece constante, y en consecuencia el área es directamente proporcional al producto de la base por la altura.

Un ejemplo en física,  es la relación que existe entre el volumen V, la presión P y la temperatura absoluta T de una masa determinada de un gas perfecto. El volumen V es directamente proporcional a T, cuando P permanece constante, y es inversamente proporcional a P cuando T permanece constante. Por tanto, de
                                                 
 acuerdo con el corolario, V= R  T/P  , formula que se acostumbra escribir PV = RT en donde R  es la constante de proporcionalidad.

El siguiente ejemplo muestra una de tabla de velocidad v de una piedra que cae libremente durante
                                 v
t  segundos. La razon - = 4.9, o bien, v= 4.9t. Tal formula describe una variacion directa.




                                 T

Proporción :

Dadas dos razones diremos que estan en proporcion si
                                                a          c
                                                -    =    -
                                                b         d
Los terminos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.

Ejemplo:
Si una pareja ordenada de una variación directa es (X1, Y1) y otra pareja de la misma función es (X2 , Y2 ), entonces

            Y1                             Y 2                                    Y1             Y2
            -    =  k                      -  =  k            o                  -       =       -    
            X1                             X 2                                    X1             X2

Tal igualdad de razones se llama una proporción y se puede leer Y1 es a X1 como Y 2 es a X 2.  En esta proporción X 1 y Y 2 se llaman medios y Y 2 y X 1 se llaman los extremos. Puesto que X 1 Y 2  = X 2 Y 1,
en cualquier proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Ejemplo.

Un peso de 15 g. alarga un resorte 5 cm. ¿Que peso lo alarga 12 cm, si la elongacion es directamente proporcional al peso

Solución 1 :   Sea E = elongacion en centímetros
                     y W eso en gramos

                     E 1           E 2
                     -     =      - ;    E 1 =5,  W1 = 15,  E2 =12
                     W 1         W 2

                     5            12
                     -      =      -
                    15           W2



                     5W 2   = 180
                     W   2  = 36          


Solución 2:     E  1   =   k W 1                  E   = k W 2
                                                                      1
                      5   =  k (15)                    12 =  -  W 2
                                                                      3
                       1
                       -  =  k                            36   =  W 2

Comprobacion:    5         1          12            1
                           -    =    -,          -      =     -
                          15        3           36           3

                         1           1
                         -     =    -
                         3           3

                                               R= Se necesita un peso de 36 gramos.
                 

Propiedades:

Dadas dos razones diremos que estan en proporcion si
                                                a          c
                                                -    =    -
                                                b         d
Los terminos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.

Ejemplo:
Si una pareja ordenada de una variación directa es (X1, Y1) y otra pareja de la misma función es (X2 , Y2 ), entonces

            Y1                             Y 2                                    Y1             Y2
            -    =  k                      -  =  k            o                  -       =       -    
            X1                             X 2                                    X1             X2

Tal igualdad de razones se llama una proporción y se puede leer Y1 es a X1 como Y 2 es a X 2.  En esta proporción X 1 y Y 2 se llaman medios y Y 2 y X 1 se llaman los extremos. Puesto que X 1 Y 2  = X 2 Y 1,
en cualquier proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Ejemplo.

Un peso de 15 g. alarga un resorte 5 cm. ¿Que peso lo alarga 12 cm, si la elongacion es directamente proporcional al peso

Solución 1 :   Sea E = elongacion en centímetros
                     y W eso en gramos

                     E 1           E 2
                     -     =      - ;    E 1 =5,  W1 = 15,  E2 =12
                     W 1         W 2

                     5            12
                     -      =      -
                    15           W2



                     5W 2   = 180
                     W   2  = 36          


Solución 2:     E  1   =   k W 1                  E   = k W 2
                                                                      1
                      5   =  k (15)                    12 =  -  W 2
                                                                      3
                       1
                       -  =  k                            36   =  W 2

Comprobación:    5         1          12            1
                           -    =    -,          -      =     -
                          15        3           36           3

                         1           1
                         -     =    -
                         3           3

                                               R= Se necesita un peso de 36 gramos.
                 


Resolución de Problemas:

Para la resolucion de tales problemas, primero se escribe la ley de variacion correspondiente en forma de una ecuacion que contenga la constante de proporcionalidad k. Luego se determina el valor de k usando los datos, obteniendose, asi una relacion con la que se pueda calcular la cantidad que se busca.

Ejemplo 1.  w es directamente proporcional a x y al cuadrado de y y es inversamente proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x= 2, y =6, y z = 3, calcular w cuando x = 5,  y = 4, z=2.

Solucion.  Primeramente  escribiremos el tipo dado de variacion en forma de ecuacion
                                                                2
                                                        k x y
      (1)                                    w =  _____  ,
                                                               3
                                                            z

en donde k es la constante de proporcionalidad que es lo primero que hay que calcular. Sustituyendo en esta ecuacion los valores dados de w,x, y y z, tenemos
                                                                       2
                                                         (k) (2) (6 )
                                                8   =  ________
                                                                 3
                                                               3

de donde k = 3. La relacion (1) se `puede escribir ahora en la forma
                                                                  2
                                                          3 x y
                                               w  =   _____   .
                                                              3
                                                            z

Por tanto, para x = 5, y = 4 y z = 2, tenemos
                                                                     2
                                                       (3) (5) (4 )
                                              w =  __________ = 30.
                                                               3
                                                             2
                                                

En los problemas de variacion proporcional generalmente es util calcular la constante de proporcionalidad  a fin de obtener una formula que sirva para obtener valores numericos. Sin embargo, en algunos casos la constante no se pide o no se puede obtener. Esto sucede, por ejemplo, si solamente se desea saber el efecto que tiene sobre una variable el cambio de otras variables.

Ejemplo 2.  La resistencia electrica R de una alamabre de seccion transversal circular es directamente proporcional a la longitud L e inversamente proporcional al cuadrado del diametro d del alambre. Calcular el procentaje de variacion en la resistencia de un alambre dado si la longitud aumenta un 40 por ciento y el diametro un 30 por ciento.

Solucion. La ley de variacion queda expresada por
                                                  k L
       (2)                            R =     ___ ,
                                                     2
                                                   d

en donde la constante de proporcionalidad k depende de la naturaleza del material del alambre.

Llamemos R1 al valor de R, que se obtiene al sustituir L por 1.4L  y d por 1.3d. Sustituyendo estos nuevos valores en (2) resulta

                                                       k (1.4L )
(3)                                      R 1   =   _______ ,
                                                                    2
                                                        ( 1.3d )

en donde k tiene el mismo valor que en (2).
 De (3) y (4) obtenemos

                                                              2
                                      R 1         1.4 Ld           1.4
                                     __    =    ______    =   ___  =  0.828 ,
                                                              2
                                     R            1.69 d  L         1.69

de donde R1 = 0.828 R, es decir, la resistencia decrece en un 17.2 por ciento, independientemente del material del alambre.